矩阵

1. 矩阵乘法

A是$m*s$阶矩阵，B是$s*n$阶矩阵，则$C=A*B$是$m*n$阶矩阵

$c_{ij}=\sum\limits_{k=1}^s a_{ik}b_{kj}$

2. 矩阵秩

* 定义

• 最高阶非0子式
• $R(A)=r$

* 秩与线性方程组

• $n$ 元线性方程组，$Ax=b$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \$ $A是m*n$的矩阵

• $R(A)< R(A,b)$ ....... 无解

• $R(A)=R(A,b)=n$........唯一解
• $R(A)=R(A,b)< n$....... 无穷多的解

$Ax = 0$有非零解得重要条件：

$R(A)< n$

3. 特征值和特征向量

$Ax=\lambda x$

• A是n阶段矩阵，
• $\lambda$是特征值
• $x$是特征向量

* 性质

设矩阵$A=(a_{ij})$的特征值是$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$

• $\lambda_1+...+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}$

• $\lambda_1*...*\lambda_n = |A|$

• 矩阵A主对角线元素的和，称为A的迹

4. 特殊矩阵

* 正交阵

若n阶矩阵满足$A^TA=I$,则A是正交矩阵

• A是正交矩阵的充要条件：A的列向量都是单位向量，且两两正交
• A是正交矩阵，x是向量，则$Ax$是正交变换（正交变换不改变长度）

* 实对称矩阵(A是$n*n$的方阵)

• 实对称矩阵的特征是实数
• 实对称矩阵不同特征值的特征向量正交$\mu^T_i \mu = 0$

* 合同矩阵

A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,满足

$P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$

-> $A 和 \Lambda$是合同矩阵

5. 二次型

含有n个变量的二次齐次函数，称为二次型；

• 一个二次型对应一个对称矩阵
• 对称阵可以由正交矩阵对角化

* 正定矩阵

• 对于n阶段方阵A，若任意n阶向量x，都有$x^TAx > 0$，则称A是正定矩阵

* 正定矩阵的判断

对称阵A为正定阵

• A的特征值大于0
• A的顺序主子式大于0